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\chapter{Cuestiones preliminares}  \label{ch:00}

En este capítulo veremos algunos conceptos y resultados que, de alguna
forma, usaremos en distintas partes texto. Muchos de ellos no los
demostramos aquí, pues su demostración se hace en cursos anteriores
(Calculo I, II y III) y se parte de que el lector está familiarizado en
ellos. Vamos a iniciar \resaltar{(1.1)} recordando el concepto de supremo de un
conjunto de números reales y enunciando el teorema del supremo, que es
esencial en la definición de la integral. En la subsección \resaltar{1.2} se
enumeran algunas definiciones y resultados sobre conjuntos. Después, en
\resaltar{1.3}, haremos un breve recordatorio de la definición de integral para
funciones de una variable, pues su construcción es muy parecida a la que
haremos para definir la integral de funciones de varias variables.


\section{Supremo}


\begin{definition}
  Sea  $A$  un conjunto no vacío de números reales. 

\noindent  a) Si  $m\in \mathbb{R}$  es tal que  $m\leq a$, para todo  $a\in A$, entonces  $m$ \emph{es una cota
inferior del conjunto }$A$. 

\noindent  b) Si  $M\in \mathbb{R}$  es tal que  $M\geq a$, para todo  $a\in A$,   entonces  $M$ \emph{es una cota superior del conjunto }$A$.
\end{definition}

\begin{definition}
 Decimos que un conjunto  $A$,
está \emph{acotado superiormente} si, y sólo si, tiene una cota
superior (es decir, si existe $M\in \mathbb{R}$  tal que  $M\geq a$,  para todo   $a\in A$ ). 
\end{definition}

 Análogamente, un conjunto  $A$ está \emph{acotado
inferiormente} si, y sólo si, tiene una cota inferior (es decir, si
existe $m\in \mathbb{R}$  tal que  $m\leq a$,  para todo   $a\in A$ ).\medskip

 Diremos que  un conjunto $A$ es un \emph{conjunto acotado}, si está acotado superior e inferiormente.

\bigskip

\textbf{Observación}: Si un conjunto $A\in \mathbb{R}$ tiene una cota
superior $M$, entonces el conjunto $A$ tendrá muchas cotas superiores. 
¿ Cuáles? Pues todo número $b\in \mathbb{R}$, mayor
que $M$, será también cota superior de $A$, ya que para todo $a\in A$, tendremos $a\leq M\leq b$, y por tanto $\forall a\in A$, $a\leq b$.


\begin{definition}
 Un número  $M^{\ast }\in \mathbb{R}$
 es \emph{la menor de las cotas superiores} de un conjunto $A$  si, y sólo si, se cumplen las siguientes dos condiciones: 

\noindent  1)  $M^{\ast }$  es cota superior de  $A$

\noindent \medskip  2)  $M^{\ast }\leq M$    para toda $M\in \left\{ x\in \mathbb{R}\mid x\text{ es cota superior de }A\right\} $
\end{definition}

 Análogamente, un número  $m^{\ast }\in \mathbb{R}$ ,
es \emph{la mayor de las cotas inferiores  de un conjunto }$A$ 
si, y sólo si, se cumplen las siguientes dos condiciones: 

\noindent  1)  $m^{\ast }$ \ es cota inferior de  $A$

\noindent  2)  $m^{\ast }\geq m$ \  $\forall m\in \left\{ x\in 
\mathbb{R}\mid x\text{ es cota inferior de }A\right\} $

\bigskip

\textbf{Nota}: La menor de las cotas superiores de un conjunto $A$ se llama 
\emph{supremo} del conjunto y se denota por $\sup A$. La mayor de las
cotas inferiores de un conjunto $A$ se llama \emph{ínfimo} del conjunto y
se denota por $\inf A$.

\textbf{Observación}: El supremo de un conjunto $A$ puede pertenecer o
no al conjunto. Por ejemplo, si $A=\left\{ \frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\} $, tenemos que $\sup A=1$ y es un elemento del conjunto. Pero si $B=\left\{ 1-\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\} $, entonces su supremo
también es $1$, $\sup B=1$, y no es un elemento del conjunto $B$. Para
convencernos de que, efectivamente, el $1$ es la menor de las cotas
superiores, basta argumentar lo siguiente:

\noindent a) Claramente, $1$ es cota superior de $B=\left\{ 1-\frac{1}{n}<1\mid n\in \mathbb{N}\right\} $.

\noindent b) Como podemos hacer $n$ tan grande como queramos, entonces
podemos acercarnos a $1$ con elementos del conjunto $B$; es decir, $1-\frac{1}{n}$ se acerca a $1$ tanto como queramos, por tanto $1$ es la menor de las
cotas superiores.

El argumento del inciso (b), que usaremos en el texto, es válido y está basado en el principio de Arquímedes. En efecto, si suponemos que
existe $M$, cota superior de $B$, tal que $M<1$, entonces $0<1-M$; ahora,
por el principio de Arquímedes, existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $N\left( 1-M\right) >1$, luego $M<1-\frac{1}{N}$ y no sería cota
superior.


\begin{theorem}[del Supremo]
Todo conjunto de números
reales, distinto del vacío y acotado superiormente, tiene supremo. Análogamente, todo conjunto de números reales, distinto del vacío
y acotado inferiormente, tiene ínfimo. 
\end{theorem}


Para demostrar este teorema se usa alguno de los principios de completez
(compleción) de los números reales. De hecho, el teorema implica la
completez de los números reales; y, viceversa, la completez de los
reales implica el teorema. No haremos aquí la demostración, puede
verse Courant John, \textit{Introducción al cálculo y al análisis matemático}. Ed. Limusa, Vol. 1, suplemento del capítulo 1
incisos (d) y (e) y el ejercicio 4 de la sección 1.S.1. O. Puede verse
también cualquier otro libro de análisis matemático.

En concreto, el teorema del supremo dice que:
\[
\text{Si }A\subset \mathbb{R}\text{ es distinto del vacío y acotado
superiormente, entonces existe el}\sup A
\]
\noindent Análogamente,
\[
\text{Si }A\subset \mathbb{R}\text{ es distinto del vacío y acotado
inferiormente, entonces existe el }\inf A\text{.}
\]

Los siguientes dos lemas los usaremos en la construcción de la definición de la integral.


\begin{lemma}
 Sean  $A\neq \varnothing $  y  $B\neq
\varnothing $  dos conjuntos de números reales tales que:  $a\leq b$   para toda  $a\in A$  y para toda  $b\in B$, entonces 
\[
\sup A\leq \inf B
\]
\end{lemma}

\begin{proof}
 Sea $b\in B$, entonces $a\leq b$ para toda $a\in A$; por tanto, $b$ es
cota superior de $A$. Ahora bien, como el $\sup A$ es la menor de las cotas
superiores de $A$, entonces $\sup A\leq b$; y, por tanto, $\sup A$ es cota
inferior de $B$. Y como el $\inf B$ es la más grande de las cotas
inferiores de $B$, entonces $\sup A\leq \inf B$.
\end{proof}


\begin{lemma}
 Sean  $A$  y  $B$  dos
conjuntos no vacíos de números reales. Si  $B$  es acotado
y  $A\subset B$, entonces 
\[
\text{i) }\inf A\geq \inf B\qquad \text{y}\qquad \ \text{ii) }\sup A\leq \sup B
\]
\end{lemma}

\noindent (la demostración se deja como ejercicio).

\bigskip

El siguiente lema resuelve un problema que a menudo se presenta cuando
queremos demostrar, con base en la definición de integral, que una función es integrable.


\begin{lemma} \label{le:sup=inf}
  Sean  $A$  y  $B$  dos
conjuntos acotados, tales que para toda  $a\in A$  y para todo  $b\in B$, ocurre que  $a\leq b$. Sean  $A^{\prime }\subseteq A$  y  $B^{\prime }\subseteq B$  tales que  $\sup A^{\prime
}=\inf B^{\prime }$. Entonces,  $\sup A=\inf B$.
\end{lemma}

\begin{proof}
 Sea $\alpha =\sup A$, $\beta =\inf B$, $\alpha ^{\prime }=\sup
A^{\prime }$ y $\beta ^{\prime }=\inf B^{\prime }$.

Como $A^{\prime }\subseteq A$ y $B^{\prime }\subseteq B$, entonces $\alpha
^{\prime }\leq \alpha $ y $\beta \leq \beta ^{\prime }$. Ademas, tenemos
como hipótesis que $a\leq b$ $\forall a\in A$ y $\forall b\in B$, por lo
que $\alpha \leq \beta $; entonces, $\alpha ^{\prime }\leq \alpha \leq \beta
\leq \beta ^{\prime }$. Pero $\alpha ^{\prime }=\beta ^{\prime }$, por tanto 
$\alpha =\beta $.
\end{proof}


Por último, el siguiente lema será muy citado en el siguiente capítulo; lo usaremos, en particular, para demostrar el Teorema de Cauchy
y otro teorema que establece condiciones necesarias y suficientes (con sumas
de Riemann) para que una función, acotada en un rectángulo, sea
integrable.


\begin{lemma} \label{le:sup-inf}
Sea  $A$  un conjunto de números
reales. Si  $c=\sup A$  y  $d=\inf A$, entonces 

\noindent  i)  para toda $x\in A$,   $d\leq x$  
y  $x\leq c$

\noindent  ii)  para toda $\varepsilon >0$, existe  $x_{\varepsilon }\in A$  tal que  $c-\varepsilon <x_{\varepsilon }$

\noindent  iii) para toda  $\varepsilon >0$, existe  $x_{\varepsilon }^{\prime }\in A$  tal que  $d+\varepsilon
>x_{\varepsilon }^{\prime }$
\end{lemma}

\begin{proof}
El inciso (i) es inmediato de la definición de ínfimo y
supremo. Para el inciso (ii) supóngase que $c-\varepsilon \geq x$, $\forall x\in A$. Entonces, $c$ no sería la menor de las cotas
superiores de $A$, pues $c-\varepsilon <c$; lo cual es una contradicción, porque $c=\sup A$. Análogamente, si suponemos que $d+\varepsilon \leq
x$, $\forall x\in A$, entonces $d+\varepsilon $ es cota inferior de $A$ y,
por tanto, $d$ no sería la mayor de las cotas inferiores.
\end{proof}


\section{Definiciones y resultados sobre conjuntos}


En distintas partes del texto, partiremos de que el lector está
familiarizado con las definiciones y resultados que aquí enlistamos
(también con la notación).\medskip

\medskip En las siguientes definiciones, $\Omega $ es un conjunto
contenido en $\mathbb{R}^{n}$ ($\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$).

\begin{definition}
Sea $r>0$, y $\overline{x_{0}}$ un punto en $\mathbb{R}^{n}$. Definimos una bola abierta en $\mathbb{R}^{n}$, con centro en $\overline{x_{0}}$ y radio $r$, como el conjunto:
\[
B_{r}(\overline{x_{0}})=\left\{ \overline{x}\in 
\mathbb{R}^{n}\mid \left\Vert \overline{x}-\overline{x_{0}}\right\Vert
<r\right\}  
\]
\end{definition}

\begin{definition}
Un punto $\overline{x}$ de un conjunto $\Omega $, es un 
\emph{punto interior} del conjunto $\Omega $, si existe $r>0$ tal que $B_{r}(\overline{x})\subseteq \Omega $.
\end{definition}

\begin{definition}
 Un punto $\overline{y}\in \Omega $, es un \emph{punto
frontera} de $\Omega $, si para todo $r>0$, ocurre que

$\qquad \qquad \qquad B_{r}(\overline{y})\cap \Omega \neq \varnothing $ y $B_{r}(\overline{y})\cap \left( \mathbb{R}^{n}-\Omega \right) \neq
\varnothing $.
\end{definition}

\begin{definition}
 Un punto $\overline{z}\in \mathbb{R}^{n}$ es un \emph{punto exterior} de un conjunto $\Omega $, si existe $r>0$ tal que $B_{r}(\overline{z})\subseteq \left( \mathbb{R}^{n}-\Omega \right) $.
\end{definition}

\begin{definition}
Un conjunto $\Omega $ es \emph{abierto} en $\mathbb{R}^{n}$, si todos sus puntos son puntos interiores.
\end{definition}

\begin{definition} \label{def:interior}
 Definimos el \emph{interior de un conjunto} $\Omega $,
como el conjunto:
\[
int\Omega =\left\{ \overline{x}\in \mathbb{R}^{n}\mid 
\overline{x}\text{ es punto interior de }\Omega \right\}  
\]
\end{definition}

\begin{definition} \label{def:frontera}
 Definimos la \emph{frontera de un conjunto} $\Omega $,
como el conjunto:
\[
 \partial \Omega =\left\{ \overline{x}\in \mathbb{R}^{n}\mid \overline{x}\text{ es punto frontera de }\Omega \right\} 
\]
\end{definition}

\begin{definition} \label{def:exterior}
 Definimos el \emph{exterior de un conjunto} $\Omega
\subseteq \mathbb{R}^{n}$, como el conjunto:
\[
ext\Omega =\left\{ \overline{x}\in \mathbb{R}^{n}\mid 
\overline{x}\text{ es punto exterior de }\Omega \right\} 
\]
\end{definition}

\begin{definition}
 Un  conjunto  $\Omega $ \emph{es cerrado} en $\mathbb{R}^{n}$, si $\mathbb{R}^{n}-\Omega $ es abierto.
\end{definition}

\begin{definition}
 Un punto $p$ es \emph{punto de acumulación} de un
conjunto $\Omega $, si para toda $r>0$ existe $\overline{x}\neq p$ tal que $\overline{x}\in B_{r}(p)\cap \Omega $.
\end{definition}

\begin{definition}
 Definimos la \emph{cerradura} de un conjunto $\Omega $
como el conjunto: $\overline{\Omega }=\Omega \cup \Omega ^{\prime }$, donde
\[
\qquad \qquad \qquad \Omega ^{\prime }=\left\{ \overline{x}\in \mathbb{R}^{n}\mid \overline{x}\text{ es punto de acumulación de }\Omega \right\}
\]
\end{definition}

\begin{definition}
 Un conjunto $\Omega $ es \emph{compacto} en $\mathbb{R}^{n}$ si toda sucesión $\left\{ a_{n}\right\} \subseteq \Omega $ tiene
una subsucesión convergente a un punto de $\Omega $.
\end{definition}


Los siguientes teoremas también se darán por conocidos. Sus
demostraciones son inmediatas de las definiciones 1 a 12 y algunas pueden
verse en cualquier libro de análisis, otras aparecen como ejercicios en
esos libros.


\begin{theorem}
Un conjunto  $\Omega $  es abierto si, y sólo si,  $\Omega =int\Omega $.
\end{theorem}

\begin{theorem}
 Un conjunto  $\Omega $  es cerrado
si, y sólo si,  $\partial \Omega \subseteq \Omega $.
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Un conjunto  $\Omega $ es abierto si, y sólo si, $\Omega \cap \partial \Omega =\varnothing $.
\end{theorem}

\begin{theorem}
 $\overline{\Omega }=\Omega \cup \partial \Omega $.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Heine Borel]
  Un conjunto  $\Omega $  es compacto en  $\mathbb{R}^{n}$  si, y sólo si,  $\Omega $  es cerrado y acotado en  $\mathbb{R}^{n}$.
\end{theorem}

\begin{theorem}
 a)  La unión arbitraria de conjuntos
abiertos es un abierto. 

\ \qquad\ \ \qquad  b) La intersección finita de conjuntos
abiertos, es un abierto. 

\ \qquad\ \ \qquad  c) La unión finita de conjuntos cerrados es
un cerrado. 

\ \qquad\ \ \qquad  d) La intersección arbitraria de cerrados es
un cerrado.
\end{theorem}

\begin{lemma} \label{le:abierto-interior}
 i)  Si  $\Omega \subseteq B$  y  $\Omega 
$  es abierto, entonces  $\Omega \subseteq intB$.

\ \qquad\ \ \qquad  ii) Si  $\Omega \subseteq A$  y  $A$  es cerrado, entonces  $\overline{\Omega }\subseteq A$.
\end{lemma}


Por último, recordamos la definición de continuidad de una función en un punto $\overline{x}_{0}$:


\begin{definition}
 Sea  $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$. Decimos que  $f$ \ es continua
en  $\overline{x}_{0}$  si, y sólo si, para toda  $\varepsilon
>0 $, existe  $\delta >0$  tal que si  $\overline{x}\in
\Omega $ y $\left\Vert \overline{x}-\overline{x}_{0}\right\Vert <\delta $,  entonces  $\left\vert f(\overline{x})-f(\overline{x}_{0})\right\vert <\varepsilon $.
\end{definition}

\noindent Definición que es equivalente a la siguiente:

\begin{definition}
  Sea  $f:\Omega \subseteq
R^{n}\rightarrow R$ . Decimos que  $f$  es continua en  $\overline{x}_{0}$  si, y sólo si, para toda sucesión  $\left\{ \overline{x}_{n}\right\} \subseteq \Omega $  se cumple que 
\[
 \text{si  }\left\{ \overline{x}_{n}\right\} \underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow }\overline{x}_{0}\text{,  entonces  }\left\{ f(\overline{x}_{n})\right\} \underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow }f(\overline{x}_{0}).
\]
\end{definition}



\subsection{Más sobre conjuntos}


A continuación se verán algunos resultados que utilizaremos, en
especial, al abordar el tema de la existencia de la integral (sobre
conjuntos arbitrarios).

\textbf{Observación}. En las definiciones \ref{def:interior}, \ref{def:frontera} y \ref{def:exterior} de la sección
anterior, aparecen tres conjuntos ($int\Omega $, $\partial \Omega $ y $ext\Omega $) relacionados con el conjunto $\Omega $. Estos tres conjuntos
son ajenos entre sí y su unión es $\mathbb{R}^{n}$. Vea la figura \ref{fig:int-frontera-ext}

\begin{figure} \centering 
%original-width 210pt;original-height 108pt;
\includegraphics[width=215pt,height=112pt]{./img-old/00/HYOHPP00}
\caption{$int\Omega $, $\partial \Omega $ y $ext\Omega $}
\label{fig:int-frontera-ext}
\end{figure}

\noindent Nótese que
tanto $int\Omega $ como $ext\Omega $, son conjuntos abiertos; entonces, su
unión es un conjunto abierto, es decir, el conjunto:
\[
\left( int\Omega \cup ext\Omega \right) =\mathbb{R}^{n}-\partial \Omega 
\]
es abierto; y, por tanto, $\partial \Omega $ es un conjunto
cerrado. Esto demuestra el siguiente lema:


\begin{lemma}
 Para todo  $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$,   $\partial \Omega $  es cerrado.
\end{lemma}


\begin{corollary}
  Si  $\Omega $  es acotado, entonces  $\partial \Omega $  es compacto. 
\end{corollary}

\noindent (Recuérdese que $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$ es acotado,
si existe $M>0$ tal que $\left\Vert \overline{x}\right\Vert \leq M$, para
todo $\overline{x}\in \Omega $)


\begin{proof}
 Como $\Omega $ es acotado, entonces lo podemos encerrar en un rectángulo cerrado $R$, lo que implica que la cerradura de $\Omega $ está
contenida en $R$; es decir, $\overline{\Omega }\subseteq R$. Pero $\overline{\Omega }=\Omega \cup \partial \Omega $; entones, $\partial \Omega \subseteq
R $, por tanto $\partial \Omega $ es acotado y, como es cerrado, es compacto.
\end{proof}

De esta demostración se concluye de inmediato que si $\Omega $ es
acotado, entonces $\overline{\Omega }$ es acotado.



\subsection{Teorema de Heine-Borel}

Por último, el teorema de Heine-Borel. Lo utilizaremos, entre otras, en
la demostración un teorema que establece condiciones necesarias y
suficientes para que una función sea integrable sobre un conjunto $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$.


\begin{definition}
 \emph{Una cubierta abierta de }$\Omega
\subseteq \mathbb{R}^{n}$, es una colección  $C_{\alpha }$  de conjuntos abiertos (con  $\alpha $  en un conjunto  $J$  de índices) tal que  $\Omega \subseteq \cup_{\alpha \in J} C_{\alpha }$. 
\end{definition}


Por ejemplo, la colección de conjuntos $C_{n}=\left\{ (x,y)\mid
x<n\right\} _{n\in \mathbb{N}}$, forma una cubierta abierta numerable de $\mathbb{R}^{2}$.

Ahora tomemos $C_{r}=B_{r}\left( \overline{0}\right) \subseteq \mathbb{R}^{n} $, $r>0$, entonces $\mathbb{R}^{2}\subseteq \cup_{r>0} B_{r}\left( \overline{0}\right) $ y, por tanto, los $C_{r}$ forman también una cubierta abierta de $\mathbb{R}^{2}$.

Nótese que si $C_{n}=B_{n}\left( \overline{0}\right) $, con $n\in 
\mathbb{N}$; entonces los $C_{n}$ forman una \emph{subcubierta} (de los $C_{r}$) abierta \textit{numerable} que cubre a $\mathbb{R}^{2}$.


\begin{theorem} \label{th:compacto-HB}
Un conjunto  $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n} $  es compacto sí, y sólo sí, de toda cubierta
abierta de  $\Omega $  se puede extraer una subcubierta finita. 
\end{theorem}


No haremos aquí la demostración, puede verse \textit{Cálculo en
variedades }de Spivak, capítulo 1, o cualquier libro de análisis.
Pero, veamos un ejemplo. Tomemos
\[
 \Omega =\left\{ \frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\} \cup \left\{
0\right\}  .
\]


Sabemos que este conjunto es compacto, pues es cerrado (contiene a todos sus
puntos de acumulación) y es acotado. Entonces, de cualquier colección de conjuntos abiertos $C_{\alpha }$ que cubra a $\Omega $, debemos de
poder extraer una subcubierta finita. Supongamos que tenemos una cubierta
arbitraria $C_{\alpha }$ de $\Omega $ y que $C_{i}$ es el abierto que que
contiene al cero. Es claro que fuera de $C_{i}$ hay un número finito de
puntos de $\Omega $, digamos $m$, y cada uno de estos $m$ puntos estará
cubierto pon un $C_{\alpha }$. O sea que, de los $C_{\alpha }$, podemos
extraer una subcubierta finita (de $m+1$ abiertos) que cubre a $\Omega $.

Ahora, consideremos el mismo conjunto, pero sin el cero, es decir,
\[
 \Omega =\left\{ \frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\}  .
\]


Este conjunto no es compacto: sí es acotado, pero no es cerrado pues el 
$0$ es punto de acumulación de $\Omega $ y no es elemento del conjunto.
Entonces debe de existir una cubierta abierta de $\Omega $ de la cual no
podamos extraer una subcubierta finita. En efecto, tomemos $C_{n}=\left( 
\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}\right) $ para $n\in \mathbb{N}$ y $n\geq 2$
\[
C_{2}=\left( \frac{1}{2},2-\frac{1}{2}\right) , C_{3}=\left( \frac{1}{3},2-\frac{1}{3}\right) , C_{4}=\left( \frac{1}{4},2-\frac{1}{4}\right) ,
\ldots
\]
Es claro que
\[
\Omega \subseteq \underset{n\in \mathbb{N}}{\cup }C_{n}=(0,2)
\]
Pero no se puede extraer una subcubierta finita que cubra a $\Omega $. Para cada $n$ ocurre que
\[
C_{2}\subseteq C_{3}\subseteq C_{4}\subseteq \cdots \subseteq C_{n}
\]
De modo que si hubiera una cubierta finita que cubriera a $\Omega $, eso querría decir que habría un $m\in \mathbb{N}$, tal que el
intervalo $\left( \frac{1}{m},2-\frac{1}{m}\right) $ contiene a $\Omega $,
lo cual es falso pues $\frac{1}{m+1}\in \Omega $ y $\frac{1}{m+1}\notin
\left( \frac{1}{m},2-\frac{1}{m}\right) $.


\section{Breve recordatorio de la definición de la integral para
funciones de una variable.}


Geométricamente, la integral de una función continua, acotada y
positiva en un intervalo cerrado $\left[ a,b\right] \subseteq \mathbb{R}$,
es el área bajo la gráfica de la función. Esta área se
obtiene haciendo aproximaciones con figuras de área conocida, con rectángulos.

Para definir esta área, lo que se hace es lo siguiente: se empieza por
dar una partición $P$ del intervalo $\left[ a,b\right] $, $P=\left\{
x_{0},x_{1}, \ldots ,x_{n}\right\} $ con $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}< \cdots <x_{n}=b$. La
partición $P$ divide al intervalo $\left[ a,b\right] $ en $n$-subintervalos de la forma $\left[ x_{i-1},x_{i}\right] $. Vea la figura \ref{fig:int-ab}

\begin{figure} \centering 
%original-width 703pt;original-height 428pt;
\includegraphics[width=239pt,height=146pt]{./img-old/00/HYOHPP01}
\caption{figura 1.$ \int_{\left[ a,b\right] } f=\int_{a}^{b} f=$ área bajo la gráfica de la función.}
\label{fig:int-ab}
$P=\left\{ a=x_{0},x_{1}, \ldots ,x_{n}=b\right\} $.
\end{figure}

\noindent Como $f$ es acotada en $\left[ a,b\right] $, lo es en cada
subintervalo $\left[ x_{i-1},x_{i}\right] $ y, por tanto, existe el ínfimo
y el supremo de la función en cada subintervalo.


\begin{definition}
 Definimos la \emph{suma superior} de $f$  para la partición  $P$, como la suma de las áreas
de los rectángulos cuya base tiene longitud  $(x_{i}-x_{i-1})$  
y cuya altura es el supremo de la función en tal subintervalo: 
\[
\overline{S}(f,p)=\sum_{i=1}^{n} M_{i}(x_{i}-x_{i-1})
\]
donde  $M_{i}=\sup\left\{ f(x);x\in \left[ x_{i-1},x_{i}\right] \right\} $Vea la figura \ref{fig:sumas-sup-inf}
\end{definition}

Análogamente,  definimos la correspondiente \emph{suma inferior},
de $f$  para la partición  $P$,  como la suma de las áreas de los rectángulos cuya base tiene longitud  $(x_{i}-x_{i-1})$  y cuya altura es el ínfimo de la función en tal subintervalo: 
\[
\underline{S}(f,p)=\sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}-x_{i-1})
\]
\noindent  donde  $m_{i}=\inf\left\{ f(x);x\in \left[ x_{i-1},x_{i}\right] \right\} $. Vea la figura \ref{fig:sumas-sup-inf}

\begin{figure} \centering 
%original-width 760pt;original-height 339pt;
\includegraphics[width=310pt,height=139pt]{./img-old/00/HYOHPP02}
\caption{Sumas superiores e inferiores}
\label{fig:sumas-sup-inf}
\end{figure}

\noindent Obsérvese que dada cualquier partición del intervalo $\left[ a,b\right] $, como $m_{i}\leq M_{i}$ para toda $i=1, \ldots , n$, se
cumple que
\[
m_{i}(x_{i}-x_{i-1})\leq M_{i}(x_{i}-x_{i-1}),
\]
Y, por tanto
\[
 \sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}-x_{i-1})\leq \sum_{i=1}^{n} M_{i}(x_{i}-x_{i-1}) .
\]
Es decir, (Vea la figura \ref{fig:sumas-inf-leq-sup})
\begin{equation} \label{eq:sum-inf-sup}
\underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P)\text{ para cualquier partición }P\text{ de }\left[ a,b\right] 
\end{equation}

\begin{figure} \centering 
%original-width 216pt;original-height 120pt;
\includegraphics[width=289pt,height=163pt]{./img-old/00/HYOHPQ03}
\caption{a) $m_{i}(x_{i-1}-x_{i})\leq M_{i}(x_{i-1}-x_{i})$
b)$\sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}-x_{i-1})\leq \sum_{i=1}^{n} M_{i}(x_{i}-x_{i-1})$,\ $\underline{S}(f,P)\leq 
\overline{S}(f,P)$}
\label{fig:sumas-inf-leq-sup}
\end{figure}

Si tenemos una partición $P$ cualquiera, podemos agregarle puntos y
producir una nueva partición $P^{\prime }$ que contiene a todos los
puntos de $P$.


\begin{definition}
 $P^{\prime }$ es un refinamiento de  $P$, si todo punto de  $P$ está en  $P^{\prime }$.
\end{definition}


Obsérvese que todo subintervalo $I$, inducido por $P$, es unión de
subintervalos $I^{\prime }$ de $P^{\prime }$. Entonces tenemos que para todo
subintervalo $I^{\prime }$ inducido por $P^{\prime }$, ocurre que existe un
subintervalo $I$, inducido por $P$, tal que $I^{\prime }\subseteq I$; por lo
que el ínfimo de la función en el subintervalo $I$, es menor o igual que
el ínfimo en el subintervalo $I^{\prime }$: $m_{I}(f)\leq m_{I^{\prime }}(f)$
(análogamente para el supremo, $M_{I}(f)\geq M_{I^{\prime }}(f)$. Y, por
tanto,
\[
\underline{S}(f,P)\leq \underline{S}(f,P^{\prime })\text{ \ \ \ \ \ \ y \ \ \ \
\ \ \ }\overline{S}(f,P)\geq \overline{S}(f,P^{\prime }),
\]


\noindent En efecto, esto se puede demostrar por inducción sobre el número de puntos que agregamos a $P$. Veamos

1. Si $P=\left\{ x_{0}, \ldots ,x_{m}\right\} $, demostramos para $P^{\prime }$
refinamiento de $P$ con un punto más que $P$. Sea $P^{\prime }=P\cup
\left\{ t\right\} $ con $t\in (x_{i-1},x_{i})=I_{i}$ para alguna $i=0, \ldots ,m$; denotamos por $I_{t}=(x_{i-1},t)$ y $I_{t+1}=(t,x_{i})$. Es claro que $m_{I}\leq m_{It}$ y $m_{I}\leq m_{It+1}$,
\[
m_{I}(x_{i}-x_{i-1})\leq m_{It}(t-x_{i-1})+m_{It+1}(x_{i}-t)
\]
entonces,
\[
\sum_{i=1}^{n} m_{I}(x_{i}-x_{i-1})\leq \sum_{j=1}^{i-1} m_{I}(x_{j}-x_{j-1})+m_{It}(t-x_{i-1})+m_{It+1}(x_{i}-t)+\sum_{j=i+1}^{m} m_{I}(x_{j}-x_{j-1})
\]
por tanto
\[
\underline{S}(f,P)\leq \underline{S}(f,P^{\prime })
\]
Análogamente, como $M_{I}\geq M_{It}$ y $M_{I}\geq M_{It+1}$,
tenemos que $\overline{S}(f,P)\geq \overline{S}(f,P^{\prime })$.

2. Suponemos el resultado válido para $n$; es decir, para $P^{\prime }$
refinamiento de $P$, con $P^{\prime }=P\cup \left\{ t_{1}, \ldots ,t_{n}\right\} $
con cada $t_{j}\in (x_{i-1},x_{i})$ para alguna $i=1, \ldots ,m$.

3. Por demostrar para $n+1$; esto es, por demostrar para $P^{\prime }$
refinamiento de $P$ con $P^{\prime }=P\cup \left\{
s_{1}, \ldots , s_{n},s_{n+1}\right\} $ con cada $s_{j}\in (x_{i-1},x_{i})$ para
alguna $i=1, \ldots ,m$. Sea $P^{\prime \prime }=P\cup \left\{
s_{1}, \ldots , s_{n}\right\} $, entonces, por el inciso 2, $\underline{S}(f,P)\leq 
\underline{S}(f,P^{\prime \prime })$ y $\overline{S}(f,P)\geq \overline{S}(f,P^{\prime \prime })$. Como $P^{\prime }=P^{\prime \prime }\cup \left\{
s_{n+1}\right\} $, entonces, por el inciso 1, $\underline{S}(f,P^{\prime
\prime })\leq \underline{S}(f,P^{\prime })$ y $\overline{S}(f,P^{\prime
\prime })\geq \overline{S}(f,P^{\prime })$, por lo tanto,
\[
\underline{S}(f,P)\leq \underline{S}(f,P^{\prime })\text{ y }\overline{S}(f,P)\geq \overline{S}(f,P^{\prime })\Diamond .
\]


De \ref{eq:sum-inf-sup}, tenemos que $\underline{S}(f,P^{\prime })\leq \overline{S}(f,P^{\prime })$ y $\overline{S}(f,P)\geq \underline{S}(f,P)$, entonces,
para todo $P^{\prime }$ refinamiento de $P$,
\begin{equation} \label{eq:sum-refin}
\underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P^{\prime })\text{ y }\underline{S}(f,P^{\prime })\leq \overline{S}(f,P) 
\end{equation}

\noindent Es inmediato de \ref{eq:sum-inf-sup} y \ref{eq:sum-refin}, que:
\[
\underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,Q)\text{ para toda }P,Q\text{
particiones de }\left[ a,b\right]
\]

\noindent Lo anterior se demuestra dando un refinamiento común a $P$ y $Q $, por ejemplo $P^{\prime }=P\cup Q$. Vea la figura \ref{fig:refinamiento-PQ}.

\begin{figure} \centering 
%original-width 223pt;original-height 187pt;
\includegraphics[width=281pt,height=236pt]{./img-old/00/HYOHPQ04}
\caption{ a) $\underline{S}(f,P)$ y $\overline{S}(f,P)$ \ b) $\,\underline{S}(f,Q)$ y $\overline{S}(f,Q)$ \ c) $\underline{S}(f,P^{\prime })$ y $\overline{S}(f,P^{\prime })$
$\underline{S}(f,P)\leq \underline{S}(f,P^{\prime })\leq \overline{S}(f,P^{\prime })\leq \overline{S}(f,Q)$}
\label{fig:refinamiento-PQ}
\end{figure}


Ahora, vamos a considerar los conjuntos:
\[
A=\left\{ \underline{S}(f,P);P\text{ es partición de }\left[ a,b\right]
\right\} 
\]
\[
B=\left\{ \overline{S}(f,P);P\text{ es partición de }\left[ a,b\right]
\right\} 
\]



Como para cualesquiera dos particiones del intervalo $\left[ a,b\right] $, $P $ y $Q$, ocurre que $\underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,Q)$, tenemos
que el conjunto de las sumas inferiores, $A$, está acotado superiormente
(cualquier suma superior es cota superior de este conjunto); y, el conjunto
de las sumas inferiores, $B$, está acotado inferiormente (cualquier suma
inferior es cota inferior de este conjunto). En consecuencia, existen el $\sup A$ y el $\inf B$. Y como $\underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,Q)$,
tenemos que $\sup A\leq \inf B$; es decir:
\begin{align*}
&&\sup\left\{ \underline{S}(f,P)\mid P\text{ partición de }\left[ a,b\right] \right\}  
&\leq &\inf\left\{ \overline{S}(f,P)\mid P\text{ partición de }\left[ a,b\right] \right\}
\end{align*}

Geométricamente es claro que, si existe el área bajo la gráfica de
la función $f$, entonces las sumas superiores son mayores o iguales que
dicha área. De igual manera, las sumas inferiores son menores o iguales
que el área bajo la gráfica de $f$. Vea figura \ref{fig:sum-inf-gr-sup}

\begin{figure} \centering 
%original-width 213pt;original-height 52pt;
\includegraphics[width=412pt,height=94pt]{./img-old/00/HYOHPQ05}
\caption{sumas inferiores$\leq $área bajo la $graf(f)\leq $sumas
superiores}
\label{fig:sum-inf-gr-sup}
\end{figure}

\noindent Intuitivamente es claro que, si existe tal área,  entonces:
\[
\sup\left\{ \underline{S}(f,P)\mid P\text{ partición de }\left[ a,b\right] \right\} =\text{area bajo }graf(f)
\]
\[
 =\inf\left\{ \overline{S}(f,P)\mid P\text{ partición de }\left[ a,b\right] \right\}  .
\]


\noindent Es decir, cuando existe el área bajo la gráfica entre el $\sup A$ y el $\inf B$, entonces es cuando se cumple la igualdad; y, el valor
de dicha área es:
\[
 \sup\left\{ \underline{S}(f,P)\mid P\text{ partición de }\left[ a,b\right] \right\} 
\]
\[
 =\inf\left\{ \overline{S}(f,P);P\mid P\text{ partición de }\left[ a,b\right] \right\}  .
\]


\begin{definition}
Sea  $f:\left[ a,b\right]
\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$,  acotada en  $\left[ a,b\right] $. Si 
\[
\sup\left\{ \underline{S}(f,P)\mid P\text{  partición de}  \left[
a,b\right] \right\}
\] 
\[
=\inf\left\{ \overline{S}(f,P)\mid P\text{  partición de}  \left[
a,b\right] \right\} 
\]
entonces decimos que la integral:  $\int_{a}^{b} f$,  existe y su valor es: 
\[
 \int_{\left[ a,b\right] } f=\int_{a}^{b} f=\sup\left\{ \underline{S}(f,P);P\text{  es partición de}  \left[
a,b\right] \right\} 
\]
\[
=\inf\left\{ \overline{S}(f,P);P\text{  es partición de}  \left[
a,b\right] \right\} 
\]
\end{definition}

